Compléments mathématiques
Fonction atan2
La fonction \(\text{atan2}(y, x)\) permet, par l’analyse du signe de ses deux arguments \(x\) et \(y\) de déterminer le quadrant solution à \(2 \pi\) près pour l’inversion de la fonction tangente :
\[\begin{split}
\begin{align}
\text{atan2}(y, x) =
\begin{cases}
\text{atan}(y/x) \quad & \text{si} \quad x > 0 \\
\text{atan}(y/x)+\pi \quad & \text{si} \quad y \geq 0, x < 0 \\
\text{atan}(y/x)-\pi \quad & \text{si} \quad y < 0, x < 0 \\
\pi/2 \quad & \text{si} \quad y > 0, x = 0 \\
-\pi/2 \quad & \text{si} \quad y < 0, x = 0 \\
0 & \text{si} \quad y = 0, x = 0 \\
\end{cases}
\end{align}
\end{split}\]
Matrice orthogonale
Une matrice \(\mathbf{A}\) \(n\times n\) est dite orthogonale si :
\[
\begin{equation}
\mathbf{A} \mathbf{A}^t = \mathbf{A}^t \mathbf{A} = \mathbf{I}_d
\end{equation}
\]
alors
\[
\begin{equation}
\mathbf{A}^t = \mathbf{A}^t \mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}_d \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}
\end{equation}
\]
Pour les matrices de changement de base, les vecteurs colonnes de \(\mathbf{A}\) sont orthogonaux et unitaires.
Pseudo inverse
Cette matrice fut définie simultanément par Moore en 1920 et Penrose en 1955. Elle est connue sous le nom de matrice inverse généralisée ou matrice pseudo-inverse ou encore matrice inverse de Moore-Penrose.
Pour une matrice \(\mathbf{A}\) de taille \(m \times n\), la matrice inverse généralisée de Moore-Penrose est une matrice « pseudo-inverse » unique de taille \(n \times m\) notée \(\mathbf{A}^{\dagger}\).
Cette matrice est définie pour les matrices complexes, mais nous ne donnons ici que les relations dans le cas de matrices réelles.
La matrice pseudo-inverse satisfait les équations suivantes :
\[\begin{split}
\begin{align}
\mathbf{A} \mathbf{A}^{\dagger} \mathbf{A} &= \mathbf{A} \\
\Leftrightarrow \mathbf{A}^{\dagger} \mathbf{A} \mathbf{A}^{\dagger} &= \mathbf{A}^{\dagger} \\
\Leftrightarrow (\mathbf{A} \mathbf{A}^{\dagger})^t &= \mathbf{A} \mathbf{A}^{\dagger}\\
\Leftrightarrow (\mathbf{A}^{\dagger} \mathbf{A})^t &= \mathbf{A}^{\dagger} \mathbf{A}
\end{align}
\end{split}\]
Elle est notamment utilisée dans les problèmes de minimisation lorsque l’on a plus de données que d’inconnues. Par exemple, soit le système linéaire suivant, d’inconnue \(\mathbf{B}\) :
\[
\begin{equation}
\mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{B}
\end{equation}
\]
en multipliant à gauche par la transposée de \(\mathbf{B}\) :
\[
\begin{equation}
\mathbf{A}^t \mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{A}^t \mathbf{B}
\end{equation}
\]
si l’inverse de \(\mathbf{B}^t \mathbf{B})\) (matrice carrée) existe alors :
\[
\begin{equation}
\mathbf{X} = (\mathbf{A}^t \mathbf{A} )^t \mathbf{A}^t \mathbf{B}
\end{equation}
\]
avec la définition de la pseudo inverse :
\[
\begin{equation}
\mathbf{A}^{\dagger} = (\mathbf{A}^t \mathbf{A} )^t \mathbf{A}^t
\end{equation}
\]
la solution de l’équation initiale se réécrit :
\[
\begin{equation}
\mathbf{X} = \mathbf{A}^{\dagger} \mathbf{B}
\end{equation}
\]
Cette solution particulière correspond au vecteur de norme minimale dans la formulation au sens des moindres carrés.
Matrice de pré-produit vectoriel
Soit le produit vectoriel de \(\mathbf{u}\) par \(\mathbf{v}\) tel que :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_y v_z - u_z v_y \\ u_z v_x - u_x v_z \\ u_x y_v - u_y v_x \end{bmatrix}
\end{equation}
\end{split}\]
Cette opération peut se mettre sous la forme linéaire suivante :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{bmatrix} 0 & -u_z & u_y \\ u_z & 0 & -u_x \\ -u_y & u_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}
\end{equation}
\end{split}\]
On définit ainsi l’opérateur de pré-produit vectoriel appliqué à \(\mathbf{u}\), la matrice anti-symétrique notée \(\mathbf{\hat{u}}\) :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = \mathbf{\hat{u}} \mathbf{v} \quad \text{avec} \quad
\mathbf{\hat{u}} = \begin{bmatrix} 0 & -u_z & u_y \\ u_z & 0 & -u_x \\ -u_y & u_x & 0 \end{bmatrix}
\end{equation}
\end{split}\]
