Équations typiques et solutions associées pour la résolution des MGI
La liste ci-dessous présente les différents types d’équations qui sont rencontrées lors de la résolution des Modèles Géométriques Inverses (MGI) des structures ouvertes (méthode de Paul et méthode de Pieper).
La variable \(r_i\) correspond à la variable articulaire \(q_i\) pour une liaison glissière (prismatique) ; la variable \(\theta_i\) correspond à la variable articulaire \(q_i\) pour une liaison pivot (rotoïde). Pour le détail des calculs, se référer à \cite{2}.
Type 1
\[
\begin{equation}
X \, r_i = Y
\end{equation}
\]
Solutions :
\[\begin{split}
\begin{equation}
r_i = \begin{cases}
Y/X \quad & \text{si} \quad X \neq 0 \\
\text{non défini} \quad & \text{si} \quad X =0 \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Type 2
\[
\begin{equation}
X \, \text{S}\theta_i + Y\, \text{C}\theta_i = Z
\end{equation}
\]
Solutions :
\[\begin{split}
\begin{align*}
\theta_i =
\begin{cases}
\text{atan2}(\pm \sqrt{1 - \text{C}^2\theta_i},\, \text{C}\theta_i) \quad & \text{si} \quad X = 0 \text{ et } Y \ne 0 \\
\text{atan2}(\text{S}\theta_i, \, \pm \sqrt{1 - \text{S}^2\theta_i}) \quad & \text{si} \quad X \ne 0 \text{ et } Y = 0 \\
\begin{cases}
\theta_{i1} = \text{atan2}(-Y,X) \\
\theta_{i2} = \theta_{i1} + 180\deg
\end{cases} \quad & \text{si} \quad X \ne 0 \text{ et } Y \ne 0 \text{ et } Z = 0 \\
\text{atan2}(\text{S}\theta_i, \, \text{C}\theta_i) \quad & \text{si} \quad X \ne 0 \text{ et } Y \ne 0 \text{ et } Z \ne 0 \text{ et } X^2+Y^2 \geq Z^2 \\
\text{configuration singulière} \quad & \text{si} \quad X \ne 0 \text{ et } Y \ne 0
\end{cases}
\end{align*}
\end{split}\]
dans le cas où \( X \neq 0\), \(Y \neq 0\) et \(Z \neq 0\), l’équation est résolue en élevant l’expression au carré : en remplaçant les termes en sinus par les fonctions équivalentes en cosinus, on aboutit à une équation du second degré à résoudre donnant la valeur du cosinus. Un raisonnement analogue est mené pour déterminer le terme en sinus :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
\text{C}\theta_2 = \dfrac{YZ - \epsilon X \sqrt{X^2+Y^2-Z^2}}{X^2 + Y^2} \\
\text{S}\theta_2 = \dfrac{XZ + \epsilon Y \sqrt{X^2+Y^2-Z^2}}{X^2 + Y^2} \\
\end{cases}
\qquad \text{avec} \qquad \epsilon = \pm 1
\end{equation}
\end{split}\]
Dans ce cas, la résolution de l’équation donne deux solutions, correspondant aux valeurs de \(\epsilon\).
Type 3
Il s’agit d’un système d’équations à résoudre :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
X_1 \, \text{S}\theta_i + Y_1\, \text{C}\theta_i = Z_1 \\
X_2 \, \text{S}\theta_i + Y_2\, \text{C}\theta_i = Z_2 \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Dans le cas où \(X_1 Y_2 - X_2 Y_1 \neq 0\), les termes en cosinus et sinus sont obtenus par combinaison linaire des deux équations pour éliminer respectivement les termes sinus et cosinus :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle{\text{C}\theta_i = \frac{Z_2 X_1 - Z_1 X_2}{X_1 Y_2 - X_2 Y_1}} \\
\displaystyle{\text{S}\theta_i = \frac{Z_1 Y_2 - Z_2 Y_1}{X_1 Y_2 - X_2 Y_1}} \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Dans le cas où \(X_1 Y_2 - X_2 Y_1 = 0\) alors, les équations ne sont plus indépendantes ; on choisit alors l’une des deux équations que l’on résout en équation de type 2.
Solution :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\theta_i = \begin{cases}
\text{atan2}(\text{S}\theta_i, \text{C}\theta_i) \quad & \text{si} \quad X_1 Y_2 - X_2 Y_1 \neq 0 \\
\text{atan2}(\frac{Z_1}{X_1}, \frac{Z_2}{Y_2}) \quad & \text{si} \quad Y_1 = 0 \text{ et } X_2 = 0 \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Type 4
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
X_1 \, r_j \, \text{S}\theta_i = Y_1 \\
X_2 \, r_j \, \text{C}\theta_i = Y_2 \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Solution :
\[\begin{split}
\begin{align*}
\begin{cases}
\begin{cases}
r_i = \pm \sqrt{(Y_1/X_1)^2+(Y_2/X_2)^2} \\
\displaystyle{\theta_{i} = \text{atan2}(\frac{Y_1}{X_1\, r_j}, \frac{Y_2}{X_2\, r_j})}
\end{cases} \quad & \text{si} \quad X_1 \ne 0 \text{ et } X_2 \ne 0 \\
\text{non défini} \quad & \text{si} \quad X_1 = 0 \text{ ou } X_2 = 0
\end{cases}
\end{align*}
\end{split}\]
Type 5
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
X_1 \, \text{S}\theta_i = Y_1 + Z_1\, r_j\\
X_2 \, \text{C}\theta_i = Y_2 + Z_2\, r_j\\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Solution :
Elle consiste à isoler les termes en sinus et cosinus dans chaque équation, les élever au carré, puis en les additionnant, on arrive à une équation du second degré en \(r_j\) qui ne peut se résoudre que si le discriminant est positif. Une fois \(r_j\) déterminé, le calcul de \(\theta_i\) se fait en résolvant un système d’équation de type 3.
Type 6
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
W\, \text{S}\theta_j = X \, \text{C}\theta_i + Y\, \text{S}\theta_i + Z_1 \\
W\, \text{C}\theta_j = X \, \text{S}\theta_i - Y\, \text{C}\theta_i + Z_2 \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Solution :
Elle consiste à élever au carré chaque équation pour faire disparaître \(\theta_j\) en les additionnant. \(\theta_i\) est alors résolu par une équation de type 2. Ensuite, connaissant \(\theta_i\), \(\theta_j\) est déterminé par un système d’équations de type 3.
Type 7
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
W_1\, \text{C}\theta_j + W_2\, \text{S}\theta_j = X \, \text{C}\theta_i + Y\, \text{S}\theta_i + Z_1 \\
W_1\, \text{S}\theta_j - W_2\, \text{C}\theta_j= X \, \text{S}\theta_i - Y\, \text{C}\theta_i + Z_2 \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Solution :
C’est une généralisation du système d’équations de type 6. Il est résolu en élevant au carré les deux équations puis en les additionnant membre à membre. On abouti à une équation de type 2 en \(\theta_i\), puis \(\theta_j\) par une équation de type 3.
Type 8
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
X\, \text{C}\theta_i + Y\, \text{C}(\theta_i + \theta_j) = Z_1 \\
X\, \text{S}\theta_i + Y\, \text{S}(\theta_i + \theta_j) = Z_2 \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
Solution :
En élevant au carré chaque équation puis en les additionnant, il vient :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle{\text{C}\theta_j = \frac{Z_1^2+ Z_2^2 - X^2 - Y^2}{2 X Y}} \\
\text{S}\theta_j = \sqrt{1 - \text{C}\theta_j^2} \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
d’où les deux solutions possible pour \(\theta_j\) :
\[
\begin{equation}
\theta_j = \text{atan2}(\pm \sqrt{1 - \text{C}\theta_j^2} , \text{C}\theta_j )
\end{equation}
\]
En développant le premier système d’équations et en factorisant par \(\text{C} \theta_i\) et \(\text{S} \theta_i\), on abouti à un système de deux équations à deux inconnues, dont les solutions sont :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle{\text{C}\theta_i = \frac{Z_1 B_1 + Z_2 B_2}{B_1^2 + B_2^2}} \\
\displaystyle{\text{S}\theta_i = \frac{Z_2 B_1 - Z_1 B_2}{B_1^2 + B_2^2}} \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
où :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
B_1 = X + Y\, \text{C}\theta_j \\
B_2 = Y\, \text{S}\theta_j \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
La solution pour l’angle \(\theta_i\) (associée à chaque solution \(\theta_j\)) est alors :
\[
\begin{equation}
\theta_i = \text{atan2}(\text{S}\theta_i , \text{C}\theta_i )
\end{equation}
\]
Type 9
\[
\begin{equation}
a_2 r_i^2 + a_1 r_i + a_0 = 0
\end{equation}
\]
Solution :
Résolution d’une équation de second degré classique.
Type 10
\[
\begin{equation}
a_4 r_i^4 + a_3 r_i^3 + a_2 r_i^2 + a_1 r_i + a_0 = 0
\end{equation}
\]
Solution :
La solution peut être obtenue à l’aide d’outils de calcul formel ; une solution numérique peut être facilement trouvée avec tout logiciel de calcul scientifique.
Type 11
\[
\begin{equation}
a_4 \text{S}\theta_i^2 + a_3 \text{C}\theta_i \text{S}\theta_i + a_2 \text{C}\theta_i + a_1 \text{S}\theta_i + a_0 = 0
\end{equation}
\]
Solution :
Il faut se ramener à une équation de type 10. Pour cela, il faut appliquer le changement de variable \(t = \text{tan} \left( \frac{\theta_i}{2}\right)\) et donc remplacer les cosinus et sinus par :
\[\begin{split}
\begin{equation}
\begin{cases}
\displaystyle{\text{C}\theta_i = \frac{1-t^2}{1+t^2}} \\
\displaystyle{\text{S}\theta_i = \frac{2t}{1+t^2}} \\
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
